Galeria matemática

Com 15 anos já resolvia problemas complexos em matemática, sem ter ainda estudo formal de cálculo. Com 16 anos conheceu Christopher Morcom, se tornaram amigos e foi quando Turing sentiu atração, descobrindo sua homossexualidade. Em 1930, Marcom morreu repentinamente e com poucas explicações, isso deixou Alan muito abalado. Um ano mais tarde, Turing graduou-se em Matemática com honras, pela Universidade de Cambridge.

Depois de formado, empreendeu estudos para criar uma máquina automatizada, que materializasse a lógica humana e solucionasse qualquer cálculo representado no formato de um algoritmo, que seriam exibidos no formato de instruções a serem processadas de forma mecânica, dentro da própria máquina. A “Máquina de Turing” se tornou um protótipo dos computadores modernos.

Alan Turing trabalhou como funcionário do Governmente Code and Cypher School e entre 1940 e 1941, e desenvolveu uma máquina capaz de decifrar o “Enigma”, código utilizado pelos nazistas, durante a Segunda Guerra Mundial, dando assim aos aliados uma vantagem que permitiu derrotar mais depressa a Alemanha.

Depois da guerra, trabalhou no Laboratório Nacional de Física do Reino Unido onde pesquisou e trabalhou no projeto para o programa de armazenamento de dados, o ACE. Criou o Manchester 1, o primeiro computador com as diretrizes parecidas com as de hoje. Interessou-se também por química, quando passou um período trabalhando nos laboratórios da Bell, nos Estados Unidos.

Em 1952, Alan Turing enfrentou um processo criminal, pois na época, na Inglaterra, o homossexualismo era considerado crime. Foi destituído de seu posto no Bletchley Park, o centro inglês de descodificação, condenado e castrado quimicamente (com injeções de hormônios femininos).

Com seu prestígio relegado, Alan Turing faleceu em Wilmslow, Inglaterra, no dia 7 de junho de 1954 aos 41 anos por intoxicação de cianeto. A princípio acreditou-se que teria sido suicídio, mas estudiosos concluíram que o envenenamento se deveu a remédios que ele compulsivamente tomava.

Uma campanha de perdão ao matemático começou na internet, exigindo um pedido póstumo por parte do governo britânico. Em 2009, o então primeiro-ministro inglês Gordon Brown, se desculpou em nome do governo, e no dia 24 de dezembro de 2013, Turing foi perdoado postumamente da condenação por prática homossexual, pela rainha Elizabeth II.

Doutor pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada – o Impa, com sede no Rio de Janeiro – Avila é o primeiro ganhador da medalha formado numa instituição do hemisfério Sul. A Fields é o maior prêmio já conquistado por um cientista brasileiro de qualquer área do conhecimento. (Avila também tem nacionalidade francesa e vínculo com o CNRS, Centro Nacional de Pesquisa Científica daquele país, e divide seu tempo entre o Rio e Paris.)

Oferecida pela União Internacional de Matemática, a Medalha Fields foi concebida para celebrar grandes realizações em várias áreas da disciplina, mas também para estimular novos trabalhos de impacto. Por isso, é concedida a pesquisadores com idade máxima de 40 anos. Foi batizada em homenagem ao canadense John Charles Fields, que a idealizou no final dos anos 1920 (à sua revelia – ele preferia que ela não fosse associada a qualquer nome). Embora seja a mais cobiçada honraria da matemática, não se trata de um prêmio de valor elevado – Avila receberá cerca de 31 mil reais.

A medalha é entregue a cada quatro anos, no Congresso Internacional de Matemáticos, a até quatro pesquisadores. Até o início deste ano, apenas 52 matemáticos haviam ganhado a medalha desde a sua instituição, em 1936. Além de Artur Avila, os outros medalhistas de 2014 são o canadense-americano Manjul Bhargava, da Universidade Princeton; o austríaco Martin Hairer, da Universidade de Warwick; e a iraniana Maryam Mirzakhani, da Universidade Stanford, primeira mulher laureada. [saiba mais]

Devido a essa propriedade, todos os números existentes podem ser rescritos ou quebrados em números primos, esse processo é chamado de fatoração. Sim, e isso é de alguma importância?

O número na imagem acima é o 50° na lista dos primos de Mersenne, sendo que essa lista tem apenas 51 números até o dia de hoje, 05/04/2020. Tal número é batizado por M77232917, por um motivo óbvio, determinado número tem 23.549.425 de dígitos.

Sabe-se que não importa o quão grande for o número, ele pode ser fatorado. Mas e quando falamos em números de 200 dígitos? De 500 dígitos? Mil dígitos? 10 mil?

Por exemplo, o M77232917 é demasiado grande para servir o seu propósito, mas a criptografia usa grandes números primos apenas porque são difíceis de descobrir. Combine dois números P1 e P2 que multiplicados gere K. Sabendo os valores de P1 e P2 fica muito fácil determinar K, os computadores conseguem fazer uma conta desse tipo bem rápido. No entanto, fazer o caminho inverso, ou seja, sabendo K determinar P1e P2 acaba por ser super difícil.

Por exemplo, esse número K será usado para gerar uma chave pública. A chave pública servirá para “fechar o cofre” com seu cartão de crédito quando você realizar compras online, por exemplo. Entretanto, P1 e P2 são os únicos números que descodificam esse código, nesse caso são eles a chave particular e que apenas o dono do cartão e o banco sabem. Em caso de roubo, levaria centenas de anos para descobrir sua senha particular apesar de conhecer K, uma vez que esse é a multiplicação de dois números de tamanhos semelhante ao M77232917. (Ver imagem 1 abaixo).

Assim, combine dois números primos P1e P2 como chave de criptografia e terá algo muito mais difícil de quebrar e, claro, conforme os computadores vão ficando mais poderosos, os números primos têm de ser maiores para acompanhar o ritmo. E é aí que entra a criptografia, que nada mais é do que uma forma de usar a matemática para garantir a segurança dos dados. Tudo que um computador puder fazer facilmente sem que possa ser desfeito com simplicidade será do interesse das tecnologias de encriptação e segurança.

Estes números podem também ajudar a compreender os números em si. Se descobrirmos primos suficientes, talvez um dia seja possível fazer a descoberta de um padrão. A ideia mostrada na figura 1 é base da criptografia por trás de coisas simples que fazem parte do nosso cotidiano, como, por exemplo, transmitir o número do cartão de crédito para uma loja online ou fazer o login em um site de um banco.

Apesar disso, os números primos ainda são um mistério na matemática, e vários são os curiosos que esperam para o dia que tais números se revelarem, ou talvez esse dia nunca chegue.

Obs: Durante o texto foi comentando que são conhecidos 51 números que são primos de Mersenne, o último número dessa lista é o M82589933, tal número é ridículo de grande tem 82.589.933 de dígitos. Veja o primeiro nas referencias para ver lista a completa.

Referencias

https://www.mersenne.org/primes/

https://youtu.be/56fa8Jz-FQQ

https://zap.aeiou.pt/maior-numero-primo-ate-data-descoberto-demasiado-grande-conseguir-ler-186560

Foram décadas em que os cientistas se perguntavam se cada um dos números entre 0 e 100 poderiam ser representados pela soma de três cubos (um número elevado ao cubo é ele mesmo multiplicado três vezes, por exemplo, 2³ = 8.

Quarenta e dois era o último número sem uma solução comprovada ou sem ser provado que não havia solução, pelo menos era ...

“É incrível”, disse o matemático do MIT, Andrew Sutherland, ao Gizmodo. “Então você espera e quando está prestes a desistir, o número aparece. É muito gratificante”.

Os pesquisadores Andrew Sutherland do MIT e Andrew Booker da Universidade de Bristol no Reino Unido descobriram o resultado utilizando mais de um milhão de horas de tempo computacional no Charity Engine, de acordo com um comunicado à imprensa.

A equação, como aparece na página dos pesquisadores, é:

(−80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³ = 42

Foi descoberto “a”, “b” e “c” da equação diofantina a³ + b³ + c³ = m, para todos os números menores que 100, com exceção daqueles que realmente não tem solução.

As exceções sem solução nesse problema, ou seja, os números que não podem ser escritos como soma de três cubos, têm a forma 9k + 4 ou 9k + 5 com k ∈ Z, são exemplos: 4, 5, 13, 14, 22, 23, 31, 32, 40, 41, 49, 50 ...

Portanto, você nunca pode adicionar três cubos e resultar em um número quatro ou cinco unidades distantes de um múltiplo de nove. Essa descoberta foi motivada por um vídeo no YouTube do canal Numberphile sobre esse tópico. Após assisti-lo, Booker decidiu produzir um algoritmo para encontrar uma solução para esses problemas, e encontrou a solução para n = 33.

Posteriormente, ele e Sutherland encontraram uma solução para n = 42, depois de meses de esforços. Se isso parece frivolidade matemática, não é. Essas equações diofantinas, nas quais você precisa descobrir várias incógnitas que se combinam com um valor conhecido, são usadas pela computação em vários algoritmos. De fato, o que esses pesquisadores realmente estão fazendo, encontrando pontos nas curvas elípticas, é uma ideia matemática fundamental usada na criptografia que protege coisas como as moedas bitcoins, por exemplo. [PDF aqui]